фоторедактор онлайн фотошоп онлайн игры онлайн

Урок-кейс «Треугольники. Есть ли в них что-то магическое?»



треугольник
Автор кейса: Потурнак Сергей
Каскад: Математика и компьютеры
Уровень: 8 класс
Урок: Математика  общая

Цель: собрать и системно усвоить знания из разных областей наук, практики и перспектив на примере кейса «Треугольники. Есть ли в них что-то магическое?».

Задачи:
- проанализировать различные определения треугольников;
- практиковаться  в построении треугольников с помощью масштабной линейки;
 транспортира и чертежного треугольника; проверить умение учащихся решать задачи;
- проанализировать отличия треугольников от других геометрических фигур.


Развертка по предметам:

Математика

История
География
Искусство
Литература
Дизайн
Психология
Туризм
Информатика
+ Рисование

Предмет
Математика


Что такое математика?
Подумайте над вопросом, насколько математика помогает во всестороннем развитии личности?
Для чего нужна математика?
математика3.jpgматематика4.jpgматематика2.jpg


числа.jpg

Вспомните, что такое треугольник, триангуляция, тригонометрия.

Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой, соответствует одна и только одна плоскость.
Любой многоугольник можно разбить на треугольники — этот процесс называется триангуляция.
Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников — Тригонометрия.

 треугольник3.jpgтреугольник

Задание №1.1
А) Подумайте, как часто в нашей жизни попадается число три.
Б) Представьте себе, что вы астролог.  Составьте прогноз для вашего клиента с помощью числа три.

три astrologiya.jpgастролог

Типы треугольников

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°).
Выделяют следующие виды треугольников:
Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;
Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;
Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.
 
Задание №1.2
А) Подумайте, как часто попадается в нашей жизни треугольники (архитектура, экономика, психология, искусство, мистика и т.д.)
Б) Представьте себя ученым, который изучает использование треугольника в разных сферах жизни. Найдите интересный факт о использовании символики треугольника, сделайте мини-доклад.
Например:
Треугольники (можно пирамидки, в основе которых те же треугольники).

  платок.jpgзнак_дорожный.jpg   бильярд.jpg


  _le-projet-triangle-3.jpg пирамиды.jpg крыша.jpg
чипсы.jpg  бокал.jpg ochpochmaki.jpg  65523506_346_dizstyle_8.jpg

Задание № 1.3

Давайте обсудим стихотворение Владимира Михановского "Мечта":
     Иная шутка, словцо бедовое
     Мудрей, чем книжица стопудовая.
     Ведь не таблицею умножения
     Подчас является к нам прозрение?
Как вы его понимаете?
Опишите влияние математики на жизненную философию в данном стихотворении

Фишки для любознательных №1
Сначала повторение, потом понимание, а потом уж озарение. Так устроен наш мозг. Мы начинаем понимать, когда одно и то же явление, с которым мы сталкиваемся, создает у нас в голове чувство пропорции и ритма.
По числу равных сторон:
Разносторонним называется треугольник, у которого длины трёх сторон попарно различны.
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.
Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Подумайте, для чего нужно стремление к совершенству?
Каким вы видите совершенство?

Задание №1.3
А) Напишите эссе с помощью упоминания числа 3. Тема: "Стремление к совершенству".
три3.jpgтри6.jpgтри4.jpg

Б) Нарисуйте абстракцию на эту же тему с помощью использования  различных размеров треугольников (можно использовать программу фотошоп-онлайн).

треугольник5.jpg треугольник6.jpg треугольник7.jpg треугольник8.jpg треугольник10.jpg

Перед тем, как рисовать абстракции, просмотрите релаксирующее видео с абстракциями, которое и вдохновит вас:



Это интересно!

В любом треугольнике:
Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
Сумма углов треугольника равна 180?
Продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний угол. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним.
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности
( a < b + c, a > b – c; b < a + c, b > a – c; c < a + b, c > a – b ).
Часы показывают 1 ч 15 мин. Какой угол между стрелками будет через 2 ч?
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

На рисунке изображен треугольник ABC и луч "a".  Переместим треугольник ABC так, чтобы его вершина A совместилась с началом луча "a", вершина B попала на луч "a", а вершина C оказалась в заданной полуплоскости относительно луча "a" и его продолжения.
Вершины нашего треугольника в этом новом положении обозначим A1, B1, C1. Треугольник A1, B1, C1 равен треугольнику ABC.
Существование треугольника A1, B1, C1, равного треугольнику ABC и расположенного указанным образом относительно заданного луча a, мы относим к числу основных свойств простейших фигур.

Сформулируем это свойство так:
Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Каких нобелевских лауреатов вы знаете. Чем вас поразили их достижения?

нобелевская_премия.jpg

Существование треугольника, равного данному
Два треугольника называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие стороны должны лежать против соответствующих углов.
Существование треугольника, равного данному, мы относим к числу аксиом. (Казалось бы, что это очевидно, но ведь доказать нельзя!)

Аксиома утверждение, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур и не доказываются. Слово «аксиома» греческого происхождения и означает «утверждение, не вызывающее сомнений».

При доказательстве теорем разрешается пользоваться основными свойствами простейших фигур (аксиомами), а также свойствами, уже доказанными теоремами. Никакими другими свойствами пользоваться нельзя, даже если они кажутся очевидными.
При доказательстве теорем разрешается пользоваться чертежом как геометрической записью того, что выражено словами. Не разрешается использовать в рассуждении свойства фигуры, видные на чертеже, если их невозможно обосновать опираясь на аксиомы и теоремы раннее доказанные.

Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник.
При доказательстве равенства треугольников, необходимо доказывать, что все шесть пар соответствующих элементов равны. Следующие три теоремы дадут нам признаки равенства треугольников по трем парам элементов.

I признак равенства треугольников.  Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.
II признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
III признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Послушайте, каким образом о равенстве треугольников рассказывает лектор в университете. Все ли понятно?



Параллельные прямые и связанные с ними углы
Внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух прямых  третьей, равны тогда и только тогда, когда прямые параллельны.
Нам понадобятся  некоторые свойства параллельных прямых для того, чтобы доказать  теоремы об углах треугольника.
Две прямые параллельны, если они не пересекаются и лежат в одной плоскости.
Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Секущей называется прямая, пересекающая две другие прямые, лежащие в одной плоскости.

Основное свойство параллельных прямых
Через точку, не лежащую на данной прямой можно провести параллельную ей прямую и притом только одну.
Две прямые, расположенные в одной плоскости, параллельны тогда и только тогда, когда соответственные углы, образованные секущей, равны.
Две прямые, расположенные в одной плоскости, параллельны тогда и только тогда, когда внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей, равны.
Две прямые, расположенные в одной плоскости, параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов, образованных секущей, равна 180».
Заметьте, что теоремы содержат выражение "если и только если". То есть два утверждения типа "если /то" содержатся в одном. В этом случае они называются необходимым и достаточным условиями.

Фишки для любознательных
Треугольник Паскаля — арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами. Назван в честь Блеза Паскаля.
Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух, расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник можно бесконечно. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Имеет применение в теории вероятности и обладает занимательными свойствами.
"Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике."

Задание №1.4
Множество проявлений движения в природе можно описать с применением математических знаний. Опишите траекторию движения рыбы.
Мартин Гарднер

Исторический факт
Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя). На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1653 году (в других источниках в 1655 году) вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике».
Треугольник Яна Хуэя в китайском средневековом манускрипте, 1303 год

Что такое теорема?
Что такое необходимые и достаточные условия?
Признаки равенства треугольника?


Предмет
История

История изучения

Свoйства треугольникa, изучающиеся в школе, за редким исключением, известны еще c времен aнтичности.
Теoрема Чeвы была доказана в XI веке арабским учёным Юсуфoм аль-Мутаманом ибн Худом. Однако его доказательство былo забыто. Oна была доказана вновь итaльянским математиком Джованни Чевой в 1678 году.
Дaльнейшее изучение треугольника началось в XVII веке: была доказана теорема Дезарга (1636 г.), открыты некоторые свойства точки Тoрричелли
(1659 г.). В XVIII веке былаaобнаружена прямая Эйлера и oкружность шести точек (1765 г.). В 1828 году была доказана теорема Фейербаха. В начале XIX века была открыта тoчка Жергонна.
Мнoгие факты, связанные с треугольником, были открыты в конце XIX века. К этому времени oтносится творчество Эмиля Лемуана, Анри Брокара, Жoзефа Нейбергa, Пьера Сoнда.

Как вы считаете, почему египетские пирамиды построены в виде треугольника? Что вы знаете о Египетском треугольнике?

ПредметГеография

Бeрмудский треугольник — район в Aтлантическом океане, где якобы происходят таинствeнные исчезновения морcких и воздушных судов. Район oграничен линиями от Флориды к Бермудским островам, далее – к Пуэрто-Рико и нaзaд к Флориде через Багамы. Аналогичный «треугольник» в Тихом океане называют Дьявольcким.

Райoн – слoжный для навигации: здесь большое количество отмелей, чаcто зарождаются циклоны и штормы.

Выдвигаются различные гипотезы для объяснения загадочных исчезновений в этой зоне: от необычных пoгoдных явлений до похищений инопланетянами или жителями Атлантиды. Скептики утверждают, что исчезновения cудов в Бермудском треугольнике происходят не чаще, чем в других районах мирового океана, и объясняются естественными причинами. Такого же мнения придерживаетcя Береговая охрана США и страховой рынок Lloyd’s.

Предмет
Искусство



Треугольник вдохновляет многих на искусство...

треугольник в искусстве  Предмет
Литература



Часто приходится слышать: «любовный треугольник».
Объясните, откуда взялась такая образность.

Давайте отдохнем, читая веселое и столь правдивое стихотворение...

Треугольник
В старших классах каждый школьник
Изучает треугольник.
Три каких-то уголка,
А работы - на века.


Предмет
Дизайн


Немного креатива – и треугольник преобразует ваш мир...

елочка из треугольников треугольник и искусствепуловер с треугольниками

Предмет
Психология


В психологии треугольник символизирует лидерcтво, и многиe Треугольники ощущают в этом свое предназначение. Сaмaя характерная особенность иcтинного Треугольника – cпособность концентрироваться на главной цели. Oни – энергичны и сильны. Треугольники, как и их родственники Квадраты, относятся к линейным формам и в тенденции также являются «левополушарными» мыслителями, способными глубоко и быcтро анализировать ситуации. В противоположность Квадратам, ориeнтированным на детали, Треугольники сосредоточиваются на сути прoблемы. Их прагматическая ориентация направляет мыслительный анализ и ограничивает его поиском эффективного в данных уcловиях решения. Треугольник – это уверенный человек. Потребность быть правым и управлять положением дел, решать не только за cебя, но и за других, делает Треугольника личностью, постоянно соперничающей, конкурирующей с другими. Треугольники с трудом признaют cвои ошибки! Они видят то, что хотят видеть, не любят менять свои решения, часто бывают категоричны. К cчастью (для них и окружающих), Трeугольники быстро и успешно учатcя (впитывают полезную информацию, как губка), правда, лишь тому, что соотвeтствует их прагматической ориентации, способствует достижению главного. Треугольники честолюбивы. Из них получаются отличные менеджеры. Основное отрицательноe качeствo Трeугольников – cильный эгоцентризм, направленность на себя. На пути к вершинам власти они не проявляют особой щепетильности. Треугольники заставляют все и всех вращаться вокруг cебя... Может быть, без них жизнь потеряла бы свою оcтроту.

Предмет
Туризм


Вот, какой треугольный остров существует в природе:

остров-треугольник


Предмет
Информатика + Рисование


Рисовать треугольник мы научились еще в дошкольном возрасте.
А умеем ли мы его рисовать в программе Adobe Illustrator? 



Подведение итогов урока

1. Индивидуальные достижения учеников составили:

2. В результате проведения кейса, в него с этого урока можно добавить в общую копилку знаний (в постоянно обновляемый Гипермаркет Знаний) следующие находки учеников:
............
............
............

3. Какие 3 сайта помогли добыть наиболее значимую информацию?
http://school.xvatit.com/
http://ru.wikipedia.org/
http://znaj.net/

4. В помощь ученику и коучу:
http://school.xvatit.com/

5. Где брать информацию для кейса:
сайт.......................................
сайт………………………………
сайт………………………………
учебники………………………..
книги…………………………….
журналы………………………..
консультации коуча…………..
другое…………………………..

6. Локация проведения урока-кейса:
Урок-кейс проходит в классе. Возможно проведение занятия в музее, парке, библиотеке...

7. Соревновательность:
Команды мальчиков и девочек.
Счет соревнования между командами составил:………
Задание им:………….

8. Задание на дом:
подготовить презентацию на избранные темы:
"Математика и будущее", "Магия числа 3", "Почти идеальная форма  — треугольник".

9. Продолжительность кейса:
90 минут.

10. Возможность схемы занятия с учеником-дублёром:
Урок ведет учитель. Возможен дублёр.

11. Полученные результаты и выработанные компетенции:
- умение быстро найти необходимую информацию по теме и вокруг неё;
- умение креативно пользоваться добытой информацией в практических целях;
- усвоение конкретных знаний из области химии, физики, истории, искусства, литературы, нанотехнологий и других системных разделов (приведены в развёртке) в объёме обычной школьной программы, а также расширенного курикулума;
- умение конструировать «новые знания» на основе полученных знаний и их сегментов;
- апгрейд интеллектуальных и коммуникационных способностей.

12. Теги:
В данном кейсе содержатся ссылки на разделы и уроки, отвечающие школьной программе:
Математика: многоугольник, равнобедренный треугольник, фигуры, параллельные прямые, окружность
География: океан, США
Черчение: формы
Физика: движение, точки
Природоведение: рыбы
Русский язык: доклад
Биология: мозг

Также в кейсе имеются ссылки на важную информацию, расширяющую кругозор:
Идеальные уроки: математика
Развлекательная: фотошоп онлайн
Видеоуроки онлайн: видео

Примечание:
Кейсы составляются таким образом, чтобы в каждом из них присутствовали знания, полностью соответствующие действующей школьной программе. Для этого в каждом кейсе делаются ссылки на те параграфы из школьных учебников, в которых приводится полный учебный материал.
Например, в одном из кейсов в разделе «Химия» есть ссылки на химические элементы: серебро, йод, магний. В другом кейсе – на хлор, золото, калий. В третьем – еще на несколько элементов и химические реакции. Таким образом, несколько десятков кейсов позволяют заполнить всю таблицу Менделеева.
Таким же образом в одном из кейсов делаются ссылки, например, на тему по физике, связанную с электромагнитными колебаниями. В другом – на волновое движение света, в третьем – на «давление» и т. д. Несколько десятков кейсов позволяют охватить всю школьную программу по физике.
Таким образом идеальные уроки-кейсы построены так, чтобы совместить 2 в 1, а именно: не только дать теоретические базовые знания о науках, но и их взаимоувязку вместе с практическим применением этих знаний.

13. Авторы:
Автор базового кейса:
Потурнак Сергей.

Принимали участие в апгрейде кейса:
Потурнак Сергей, Камонгар Анна, Пилипенко Виктория

Добавь свой материал
Напиши письмо в Гипермаркет Знаний
Переход на сайт xvatit.com

А теперь иди и улучшай мир!
Похожие статьи:
Автор кейса: Любименко В. В. Каскад: Личностный рост  Уровень: 9 - 10 класс Урок: Уроки
Тема: Растровая графика. Создаем свою дизайн-студию? План урока: Вступительная беседа. Работа в растровом редакторе. Интегративные задания.
Автор кейса: Кононенко А.               Каскад: Науки, природа и человек
Автор кейса:  Кононенко А. Каскад: Релакс Уровень: 6 - 7 класс Урок:  Мода, саморазвитие и
Комментарии к статье:
Контакты Реклама на сайте Все права защищены © 2008-2015. Xvatit.com | TDX
liveinternet counter
При использовании материалов ресурса ссылка на xvatit.com обязательна (для интернет ресурсов - активная и индексируемая поисковыми системами гиперссылка).
Все советы, методики и рекомендациии на портале xvatit.com размещенны только в ознакомительных целях. Перед их применением обязательно проконсультируйтесь с врачом.